LFU:online

Absolventinnen und Absolventen dieses Moduls haben sich durch selbständiges Studium vertiefte Kenntnisse in einem Teilgebiet der höheren Mathematik erarbeitet. Sie sind außerdem mit relevanter mathematischer Literatur vertraut und können deren mathematischen Gehalt beurteilen. Sie sind in der Lage, sich kreativ und methodisch korrekt mit Problemen der höheren Mathematik auseinanderzusetzen und das Ergebnis dieser Auseinandersetzungen schriftlich und mündlich für Expertinnen und Experten gut verständlich darzulegen. Die Inhalte der Seminare orientieren sich an aktuellen Forschungsthemen.

Im Forschungsseminar können die Teilnehmer die Ergebnisse der eigenen Forschung vorstellen, oder ein aktuelles Thema aus der Funktionalanalysis vertiefend zu bearbeiten.

Der Schwerpunkt dieses Semester liegt auf Konvexitätseigenschaften von Banachräumen im Zusammenhang mit der Existenz von Fixpunkten nichtlinearer Abbildungen sowie dem Verhalten linearer und nichtlinearer Projektionen.

Beurteilung aufgrund von regelmäßigen schriftlichen und mündlichen Beiträgen der Teilnehmerinnen und Teilnehmer.

Als Anwendungen von Konvexitäts- und Differenzierbarkeitseigenschaften von Banachräumen können beispielsweise Teile der folgenden Publikationen besprochen werden:

• A. Pinkus. The alternating algorithm in a uniformly convex and uniformly smooth
  Banach space. J. Math. Anal. Appl., 421(1):747–753, 2015.
• F. Schöpfer, T. Schuster, and A. K. Louis. An iterative regularization
  method for the solution of the split feasibility problem in Banach spaces. Inverse
  Problems, 24(5):055008, 20, 2008.
• S. Reich and S. Sabach. A projection method for solving nonlinear
  problems in reflexive Banach spaces. J. Fixed Point Theory Appl., 9(1):101–116,
  2011.
• T. Schuster, B. Kaltenbacher, B. Hofmann, and K. S. Kazimierski.
  Regularization methods in Banach spaces. Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, Berlin,
  2012.

Bei Interesse besteht auch die Möglichkeit die klassischen Charakterisierungen von Hilberträumen durch das Verhalten der metrischen Projektion zu besprechen.

• W. J. Stiles: Closest-point maps and their products. Nieuw Archiev voor Wiskunde (3), XIII, 19-29 (1965)
• R. A. Hirschfeld: On best approximation in normed vector spaces, II, Nieuw Archief voor Wieskunde (3), VI (1958), 99-107
• S. Kakutani: Some characterizations of Euclidean space, Jap. J. Math. vol. 16 (1939), 93-97

Für die Grundlagen werden einzelne Kapitel der folgenden Lehrbücher verwendet:

• F. Albiac and N. J. Kalton. Topics in Banach space theory. Springer, New York,  2017
• K. Goebel and S. Reich. Uniform convexity, hyperbolic geometry, and
  nonexpansive mappings. Marcel Dekker, Inc., New York, 1984.