LFU:online

Absolventinnen und Absolventen dieses Moduls haben einen Einblick in Themengebiete erhalten, die über die Inhalte der Module 1-22 hinausgehen.

Reellwertige Funktionen auf der Zahlengeraden besitzen ein Riemann-Integral über ein beschränktes Intervall, wenn sie gewissen Stetigkeitsvoraussetzungen genügen (sie müssen beschränkt sein und ‚fast überall stetig‘). In der Analysis und Stochastik bekommt man es mit Funktionen zu tun, für die solche Voraussetzungen nicht vorliegen oder nicht anwendbar sind, für die man aber doch ein Integral braucht und erfreulicherweise  tatsächlich – z.B. sogar über die ganze Zahlengerade – sinnvoll definieren kann. (Ein Beispiel wäre die Funktion, die auf allen rationalen Zahlen den Wert 1 und auf allen irrationalen Zahlen den Wert 0 annimmt.) Dieses sogenannte Lebesgue-Integral fällt für die eingangs genannten Funktionen mit dem Riemann-Integral zusammen und erlaubt es insbesondere, unter bestimmten Voraussetzungen Integration mit dem Übergang zu Grenzwerten zu vertauschen. Das Lebesguesche Integrationsverfahren liefert in Wahrscheinlichkeitsräumen die Erwartung von Zufallsvariablen und dient in der Funktionalanalysis zur Definition von speziellen Funktionenräumen (z.B. L^p-Räume).

Vortrag, Beurteilung aufgrund eines einzigen Prüfungsaktes am Ende der Lehrveranstaltung.

Lehrveranstaltungsprüfung gemäß § 7 Satzungsteil, Studienrechtliche Bestimmungen

Diese Lehrveranstaltung soll die Einführung des Lebesgue-Integrales in der Standard-Analysis-Vorlesung unterstützen. Tentativer Inhalt ist:

§1 Das Lebesguesche Maß

§2 Meßbare Mengen

§3 s-Algebren

§4 Maße

§5 Meßbare Funktionen

§6 Konvergenz von Funktionenfolgen

§7 Das Integral nicht negativer Funktionen

§8 Integrierbare Funktionen

§9 Riemann- und Lebesgue-Integral

§10 L^p-Räume

§11 Der Satz von Fubini