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Institut für Mathematik Institut für Mathematik

OR Dr. Christoph Kollreider OR Dr. Christoph Kollreider

702807

Axiomatische Mengenlehre (AD)

VO 2

4

wöch.

keine Angabe

Deutsch

Ausgehend von der Tatsache, daß alle Objekte der Mathematik (Zahlen, Funktionen, Relationen) als Mengen konstruiert werden können, daß aber andererseits die uneingeschränkte Konstruktion neuer Mengen zu logischen Widersprüchen führen kann (Antinomie von Russell!), entwickeln wir in dieser Vorlesung die Theorie der "Universen". Ein Universum ist nicht die "Menge aller Mengen", aber doch ein so großer Bereich von Mengen, daß in ihm alle in der derzeitigen Mathematik üblichen mengentheoretischen Konstruktionen durchführbar sind. Welche Mengen ein Universum mindestens enthalten muß, wird durch - teilweise willkürlich gewählte - Axiome geregelt. Wir werden das bekannteste dieser Axiomensysteme (von Zermelo und Fraenkel) ausführlich besprechen, die von Georg Cantor "erfundenen" unendlichen Kardinal- und Ordinalzahlen definieren und schließlich das eingangs eingeführte Axiomensystem durch zwei weitere Axiome (Auswahlaxiom und Fundierungsaxiom) ergänzen. Die für die gesamte Mathematik grundlegende Bedeutung des Auswahlaxioms und seiner aequivalenten Formulierungen werden wir anhand ausgewählter Beispiele demonstrieren. In dem im Sommersemester stattfindenden zweiten Teil der Vorlesung werden wir auf Fragen der Widerspruchsfreiheit der verschiedenen Varianten des Zermelo-Fraenkel-Systems (und seiner Ergänzungen durch weitere Axiome) eingehen und insbesondere den Beweis Kurt Gödels, daß das Auswahlaxiom mit den "elementaren" Axiomen dieses Systems verträglich ist, vorstellen. Die Vorlesung setzt keine Detailkenntnisse aus anderen Gebieten der Mathematik voraus, aber eine gewisse "mathematische Bildung" ist für das Verständnis der Tragweite der eingeführten Begriffe nützlich. Die für die Entwicklung der "axiomatischen Mengenlehre" nötigen Kenntnisse aus formaler Logik (etwa im Umfang meiner Vorlesung 2008/09) werden in der Vorlesung vermittelt.

Beginn: 07.10.2009