LFU:online

Absolventinnen und Absolventen dieses Moduls sind in der Lage, sich methodisch korrekt mit einem Teilgebiet der Mathematik auseinanderzusetzen und das Ergebnis dieser Auseinandersetzung schriftlich und mündlich gut verständlich darzulegen.

Selten schafft es eine mathematische Arbeit auf die Titelseite der New York Times, die Arbeit Trailing the dovetail shuffle to its lair von Bayer und Diaconis hat es geschafft. Einfach ausgedrückt sagt die Arbeit aus, dass man ein Kartendeck mit 52 Karten (wie beim Poker oder Blackjack) siebenmal mischen sollte, bevor man gibt. Genauer geht es um die am weitesten verbreitete Methode Karten zu mischen, nämlich das Bogenmischen (engl.: riffle shuffle oder dovetail shuffle). Bei dieser Art des Kartenmischens wird das Deck zunächst in zwei etwa gleich große Kartenstapel geteilt, von denen einer in die linke und einer in die rechte Hand genommen wird. Danach werden abwechselnd aus beiden Händen eine oder mehrere Karten auf einen neuen Stapel fallengelassen. Die Frage ist, wie oft dieser Mischvorgang wiederholt werden muss, bis die Reihenfolge der Karten im entstehenden Stapel annähernd gleichverteilt ist.

Noch genauer wird die Folge der Kartenanordnungen eines Kartenstapels mit n Karten nach jedem Mischvorgang als Markovkette auf der Gruppe der Permutationen von n Elementen modelliert. Die Übergangswahrscheinlichkeiten dieser Kette folgen dabei dem Gilbert-Shannon-Reeds-Modell. Die Kette strebt einem Gleichgewichtszustand entgegen, d. h., ihre Verteilung konvergiert in Totalvariation gegen die Gleichverteilung auf der Permutationsgruppe. Es wird gezeigt, dass man für ein Blatt mit n Karten im Grenzübergang n gegen unendlich ungefähr k(n) ~ 3/2  (log n)/(log 2) Mischvorgänge benötigt, um in geeignetem Sinne nahe an die Gleichverteilung zu kommen. Ferner wird eine explizite Formel für den genauen Abstand d(k,n) zwischen der Kette zur Zeit k und der Gleichverteilung hergeleitet.

Beurteilung aufgrund von regelmäßigen schriftlichen und/oder mündlichen Beiträgen der Teilnehmerinnen und Teilnehmer.

Lehrveranstaltungsprüfung gemäß § 7 Satzungsteil, Studienrechtliche Bestimmungen

Bayer, Dave and Diaconis, Persi. Trailing the dovetail shuffle to its lair. The Annals of Applied Probability, Vol. 2, No. 2 (1992), pp. 294–313.

Stochastik 1 oder Stochastik für das Lehramt; Stochastik 2 von Vorteil, aber nicht zwingend erforderlich